Minecraft Edu » Спираль

Найдите оношение этого $F(L_{a})=\int f(L_{a})\,dL_{a}=\frac{12\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\int \frac{1}{L_{a}}\,dL_{a}$

$**F(L_{a})=\frac{12\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\ln (L_{a})+C**$

к этому

$F(A)=\int f(A)\,dA=**\frac{6\pi GM}{c^{2}(1-e^{2})}\ln (A)+C**$

Найдите оношение этого $F(L_{a})=\int f(L_{a})\,dL_{a}=\frac{12\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\int \frac{1}{L_{a}}\,dL_{a}$

Чтобы найти отношение этих двух первообразных, необходимо сопоставить их коэффициенты (амплитуды) перед логарифмами, так как аддитивные константы (C) в общем виде не позволяют получить фиксированное отношение для полных функций.
Рассмотрим отношение их масштабирующих коэффициентов (обозначим их как $K_{L_{a}}$ и $K_{A}$ ), отбросив константы интегрирования:

$K_{L_{a}}=\frac{12\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\ln (L_{a}$

$K_{A}=\frac{6\pi GM}{c^{2}(1-e^{2})}\ln (A)$
Разделим $K_{L_{a}}$ на $K_{A}$ :
$\frac{K_{L_{a}}}{K_{A}}=\frac{\frac{12\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\ln (L_{a})}{\frac{6\pi GM}{c^{2}(1-e^{2})}\ln (A)}=\frac{12\pi ^{2}}{6\pi }\cdot \frac{1-e^{2}}{1-e}\cdot \frac{\ln (L_{a})}{\ln (A)}$

Учитывая, что $1-e^2 = (1-e)(1+e)$ , дробь с эксцентриситетом упрощается до $(1+e)$ . Получаем:

$\frac{K_{L_{a}}}{K_{A}}=**2\pi (1+e)\cdot \frac{\ln (L_{a})}{\ln (A)}**$

Перевод логарифмов к единому аргументу
Так как $L_a = 2\pi A(1+e)$ , мы можем расписать логарифм $\ln(L_a)$ как $\ln(A) + \ln(2\pi(1+e))$ . Тогда окончательное отношение функций при $C=0$ принимает вид:
$\frac{F(L_{a})}{F(A)}=**2\pi (1+e)\left(1+\frac{\ln (2\pi (1+e))}{\ln (A)}\right)**$
В таком виде отчетливо прослеживается геометрический смысл: базовый масштаб отношения задается множителем , который в точности равен отношению длины окружности афелия к большой полуоси орбиты.
Если вам потребуется проанализировать предел этого отношения при малых эксцентриситетах ( $e \to 0$ ), дайте знать.

Найдите оношение этого \ $F(L_{a})\u003d\\int f(L_{a})\\,dL_{a}\u003d\\frac{12\\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\\int \\frac{1}{L_{a}}\\,dL_{a}\$ \ $**F(L_{a})\u003d\\frac{12\\pi ^{2}GM}{c^{2}(1-e)}\\ln (L_{a})+C**\$ \n\nк этому\n\n\ $F(A)\u003d\\int f(A)\\,dA\u003d**\\frac{6\\pi GM}{c^{2}(1-e^{2})}\\ln (A)+C**\$

Можете результат в виде цепной дроби записать?

Чтобы записать полученное отношение функций в виде цепной дроби (непрерывной дроби), мы можем разложить его функциональную структуру. Полное выражение имеет вид:
$X=2\pi (1+e)+2\pi (1+e)\frac{\ln (2\pi (1+e))}{\ln (A)}$

Для планет Солнечной системы (например, для Меркурия, где $e \approx 0{,}2056$ , а большая полуось $A \approx 5{,}79 \cdot 10^{10}$ м) второе слагаемое с логарифмами крайне мало ( $\approx 0{,}8$ ), а основной вклад вносит первый геометрический множитель.

1. Обобщенная аналитическая цепная дробь

Если представить структуру отношения как сумму целой части (задаваемой главным геометрическим масштабом) и дробного релятивистско-логарифмического хвоста, её можно записать в каноническом виде обобщенной цепной дроби:

$X=\lfloor 2\pi (1+e)\rfloor +\cfrac{1}{a_{1}+\cfrac{1}{a_{2}+\cfrac{1}{a_{3}+\dots }}}$

Где первый элемент (остаток от деления) выражается через логарифмы: $a_{1}=\frac{\ln (A)}{2\pi (1+e)\ln (2\pi (1+e))}-\dots$
2. Численная цепная дробь на примере Меркурия
Чтобы увидеть, как это выглядит в реальных физических условиях, подставим параметры орбиты Меркурия ( $e = 0{,}20563$ , $A = 57{,}91 \cdot 10^9$ м, $L_a = 438{,}9 \cdot 10^9$ м).

Численное значение отношения составит:
$X_{\text{Меркурий}}\approx 2\pi (1+0,20563)\cdot \frac{\ln (438.9\cdot 10^{9})}{\ln (57.91\cdot 10^{9})}\approx 7,57512\cdot \frac{26,807}{24,782}\approx **8,19398**$

Разложение этого конкретного значения в классическую цепную дробь имеет вид $[8; 5, 7, 1, 3, 1, \dots]$ или в стандартной математической записи:
$8+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\dots }}}}}$

3. Предельный случай для круговой орбиты ( $e \to 0$ )

Если мы рассматриваем почти круговую орбиту, то геометрический коэффициент превращается в чистую константу $2\pi$ . Цепная дробь для числа $2\pi$ ( $\approx 6{,}283185$ ) хорошо известна в теории чисел и записывается как $[6; 3, 1, 1, 7, 2, \dots]$

$2\pi =6+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{2+\dots }}}}}$

Хотите ли вы рассчитать подходящие рациональные приближения (подходящие дроби) для этих коэффициентов, чтобы упростить аналитические вычисления в уравнениях?

# Меркурий параметры для примера, чтобы понять порядок величин, но нам нужно аналитическое представление.
# Отношение коэффициентов (без логарифмов, или полное отношение):
# K_La / K_A = 2*\pi*(1+e) * ln(L_a)/ln(A)
# Запишем общий вид цепной дроби для вещественного числа, если бы это было число, но пользователь просит “результат в виде цепной дроби”.
# Поскольку e и A – переменные, цепная дробь может быть записана для функционального выражения или для коэффициента 2\pi(1+e).
# Давайте посмотрим на разложение 2\pi в цепную дробь: 2*\pi \approx 6.2831853…
# Цепная дробь для 2\pi: [6; 3, 1, 1, 7, 2, …]
# Посмотрим точнее.
def continued_fraction(val, depth=5):
res = []
for _ in range(depth):
int_part = int(val)
res.append(int_part)
frac_part = val – int_part
if abs(frac_part) < 1e-9:
break
val = 1.0 / frac_part
return res

print(“2*pi:“, continued_fraction(2*math.pi))

import math\n\n# Меркурий параметры для примера, чтобы понять порядок величин, но нам нужно аналитическое представление.\n# Отношение коэффициентов (без логарифмов, или полное отношение):\n# K_La / K_A \u003d 2*\\pi*(1+e) * ln(L_a)/ln(A)\n# Запишем общий вид цепной дроби для вещественного числа, если бы это было число, но пользователь просит \”результат в виде цепной дроби\”.\n# Поскольку e и A – переменные, цепная дробь может быть записана для функционального выражения или для коэффициента 2\\pi(1+e).\n# Давайте посмотрим на разложение 2\\pi в цепную дробь: 2*\\pi \\approx 6.2831853…\n# Цепная дробь для 2\\pi: [6; 3, 1, 1, 7, 2, …]\n# Посмотрим точнее.\ndef continued_fraction(val, depth\u003d5):\n res \u003d []\n for _ in range(depth):\n int_part \u003d int(val)\n res.append(int_part)\n frac_part \u003d val – int_part\n if abs(frac_part) \u003c 1e-9:\n break\n val \u003d 1.0 / frac_part\n return res\n\nprint(\”2*pi:\”, continued_fraction(2*math.pi))\n”,[[“import”,3],[” “,0],[“math”,24],[“\n\n”,0],[“# Меркурий параметры для примера, чтобы понять порядок величин, но нам нужно аналитическое представление.”,5],[“\n”,0],[“# Отношение коэффициентов (без логарифмов, или полное отношение):”,5],[“\n”,0],[“# K_La / K_A \u003d 2*\\pi*(1+e) * ln(L_a)/ln(A)”,5],[“\n”,0],[“# Запишем общий вид цепной дроби для вещественного числа, если бы это было число, но пользователь просит \”результат в виде цепной дроби\”.”,5],[“\n”,0],[“# Поскольку e и A – переменные, цепная дробь может быть записана для функционального выражения или для коэффициента 2\\pi(1+e).”,5],[“\n”,0],[“# Давайте посмотрим на разложение 2\\pi в цепную дробь: 2*\\pi \\approx 6.2831853…”,5],[“\n”,0],[“# Цепная дробь для 2\\pi: [6; 3, 1, 1, 7, 2, …]”,5],[“\n”,0],[“# Посмотрим точнее.”,5],[“\n”,0],[“def”,3],[” “,0],[“continued_fraction”,24],[“(“,0],[“val”,24],[“, “,0],[“depth”,24],[“\u003d”,0],[“5”,6],[“):\n “,0],[“res”,24],[” \u003d []\n “,0],[“for”,3],[” “,0],[“_”,24],[” “,0],[“in”,3],[” range(depth):\n “,0],[“int_part”,24],[” \u003d int(val)\n res.append(int_part)\n “,0],[“frac_part”,24],[” \u003d val – int_part\n “,0],[“if”,3],[” abs(frac_part) \u003c “,0],[“1e-9”,6],[“:\n “,0],[“break”,3],[“\n “,0],[“val”,24],[” \u003d “,0],[“1.0″,6],[” / frac_part\n “,0],[“return”,3],[” res\n\nprint(“,0],[“\””,4],[“2*pi:”,4],[“\””,4],[“, continued_fraction(“,0],[“2”,6],[“*math.pi))\n”,0]]]]–>

$\frac{\ln (2\pi (1+e))}{\ln (A)}$ Можно ли упростить эту часть?

Эту часть нельзя упростить с помощью строгих алгебраических тождеств (так как свойства логарифмов не позволяют преобразовывать отношение логарифмов с разными аргументами в одну простую функцию). Однако её можно кардинально упростить аналитически, используя то, что в реальной физической Вселенной масштаб орбиты $A$ несоизмеримо больше, чем геометрический сомножитель $2\pi(1+e)$ .

Для любых планет, спутников и даже звездных систем выполняются два условия:

Эксцентриситет $e < 1$ , следовательно, аргумент числителя — это константа малого порядка: $2\pi(1+e) \sim 6 \dots 12$ . Логарифм числителя всегда равен небольшой величине: $\ln(2\pi(1+e)) \approx 1{,}8 \dots 2{,}5$ .

Большая полуось $A$ в метрах — это гигантское число ( $10^{10} \dots 10^{12}$ м). Соответственно, $\ln(A)$ — это большая величина (порядка $23 \dots 28$ ).

Благодаря этому можно применить два типа упрощений:

1. Переход к новому основанию (инвариант масштаба)

С помощью формулы перехода к новому основанию логарифма выражение сводится к одному логарифму, где большая полуось $A$ становится основанием:
$\frac{\ln (2\pi (1+e))}{\ln (A)}=**\log _{A}\big(2\pi (1+e)\big)**$
Поскольку $A \gg 2\pi(1+e)$ , этот логарифм физически показывает, в какую микроскопическую степень нужно возвести радиус орбиты Меркурия или Земли (десятки миллиардов метров), чтобы получить длину окружности радиуса около 1 метра.

2. Асимптотическое разложение (для приближенных вычислений)

Поскольку этот член ведет себя как величина порядка $\approx \frac{2}{\ln (A)}$ , в теоретических расчетах и рядах теории возмущений его часто заменяют на ведущий логарифмический параметр масштаба.

Если зафиксировать характерный масштаб системы $A_{0}$ , то для близких орбит можно расписать разложение в ряд Тейлора по малому отклонению $\Delta A = A - A_0$ :
$\frac{\ln (2\pi (1+e))}{\ln (A)}\approx \frac{\ln (2\pi (1+e))}{\ln (A_{0})}\left(1-\frac{\Delta A}{A_{0}\ln (A_{0})}\right)$

Для Меркурия этот «хвост» в точности равен $\log_{57{,}9 \cdot 10^9}(7{,}575) \approx 0{,}0818$ , что составляет малую добавку к единице в общей скобке выражения.

Если вы хотите посмотреть, как этот логарифм преобразуется при переходе к безразмерным Планковским единицам (где $A$ измеряется не в метрах, а в $l_{P}$ ), это может убрать искусственную зависимость от выбора метрической системы. Интересен ли вам такой переход?

Вы вывели в прогамме узлы, я раньше считал что видимые o и s узлы есть только у Меркурия.

Как я понял в узлах вы попытались учесть движение земли и изобразить видимое положение?

Если же мы смотрим не синоидально, то это просто элипсы под углами по которым планеты в районе перегилия движутся ускоренно, а узлы пересечения элипсов постеменно сдвигаются?

Вы всё поняли верно. Программа берёт координаты через astronomy.calculate_position_planets, которая возвращает геоцентрические координаты — эклиптическую долготу и расстояние от Земли. То есть на графике изображено видимое (синодическое) положение планет, как они наблюдаются с Земли.

Именно поэтому возникают «узлы» — точки, где видимые траектории пересекаются. Это не истинные орбитальные узлы (восходящий/нисходящий), а артефакт геоцентрической проекции: Земля сама движется, и при наложении её движения на движение планет видимые пути получаются сложными, с петлями и пересечениями. У Меркурия и Венеры это заметнее всего из-за близости к Земле и коротких периодов, но в принципе такой эффект есть у всех планет.

Если бы вы смотрели гелиоцентрически (от Солнца), картина была бы принципиально иной:

Каждая планета двигалась бы по почти постоянному эллипсу с малым наклоном к эклиптике.
В районе перигелия — ускорение (Второй закон Кеплера), в районе афелия — замедление. Это хорошо видно по плотности точек на ярком следе.
Настоящие узлы — точки пересечения плоскости орбиты планеты с плоскостью эклиптики — действительно есть у всех планет (у каждой орбиты есть наклонение), но они медленно дрейфуют из-за возмущений от других тел. У Меркурия этот дрейф заметнее, потому что наклонение орбиты больше и возмущения сильнее.
Никаких петель и видимых пересечений траекторий в гелиоцентрической картине не было бы — просто набор наклонённых эллипсов, каждый со своим эксцентриситетом.

Чтобы переключить анимацию на гелиоцентрический режим, нужно менять не код отрисовки, а источник данных: вместо calculate_position_planets (геоцентрические координаты от Земли) запрашивать гелиоцентрические координаты — в SPK-файлах NASA для этого используется центр 0 (барицентр Солнечной системы) или 10 (Солнце) вместо 399 (Земля).

https://github.com/Ignat99/Planets/blob/main/model/planet4.py