Что сделала Лавлейс: от Бомбелли к Бернулли и Бэббиджу
Вот качественный перевод статьи на русский язык с сохранением научно-популярного стиля, исторической терминологии и структуры оригинала:
2 ответа
Я хочу рассказать вам о разностных таблицах для многочленов (полиномов). И не только потому, что это увлекательно, но и потому, что это даст нам возможность увидеть, какую роль многочлены сыграли на заре компьютерной эры благодаря трудам пионеров вычислительной техники — Чарльза Бэббиджа и Ады Лавлейс.
Но для начала: откуда вообще взялись многочлены?
ИСКУССТВО «ВЕЩИ»
«Вещь» (в английском — thing) — удивительно гибкое слово, как и его аналоги res в латыни или cosa в итальянском, которые другие языки использовали для обозначения неопределенных объектов. Часто это слово указывает на группу людей, собравшихся вместе ради какой-то цели: вспомните Римскую республику (буквально res publica — «общественное дело/вещь») или Коза Ностра (Cosa Nostra — «Наше дело»). Любопытно, что само английское слово thing, похоже, проделало обратный путь: изначально оно означало собрание людей (народный сход — тинг), а в итоге стало означать… ну, вообще любую вещь.
Математика тоже по-своему приспособила нематематические слова для обозначения неопределенных объектов: в индийской и арабской алгебре искомую величину (неизвестное) часто называли «вещью». Для европейских алгебраистов было естественным перенять это употребление, и действительно, в эпоху Возрождения алгебру иногда называли «искусством вещи» (арс магна или l’arte della cosa, см. Концевую заметку №1).
Разумеется, многочлены появились задолго до того, как о них узнали в Европе. Математики по всему миру использовали их еще две тысячи лет назад, в те времена, когда математика состояла из слов, а алгебра была риторической (см. Концевую заметку №2). Но когда вы думаете о многочленах, вы, скорее всего, представляете их так, как их записывают в современной старшей школе. А значит, вы думаете о современном символьном подходе к многочленам, основоположником которого стал Рафаэль Бомбелли.
Я уже писал о Бомбелли в своем эссе о комплексных числах. Его книга «Алгебра» (L’Algebra), вышедшая в 1572 году, популяризировала версию экспоненциальной записи, похожую на ту, что мы используем сегодня. Также он дал четкие правила выполнения арифметических операций над многочленами. Например, вот приблизительный перевод описания Бомбелли того, как мы можем умножать простые одночлены вроде 3x4 и 5x6 (где он называет степени «достоинствами» [dignities], а показатели степеней — «сокращениями» [abbreviatures]):
Когда нужно умножить достоинства, складывают числа написанных над ними сокращений, и из них формируется сокращение достоинств; а числа, которые стоят под этим достоинством, просто перемножаются.
То есть, чтобы умножить 3x4 на 5x6, мы перемножаем «числа внизу» (3 и 5), получая 15, и складываем «сокращения» (4 и 6), получая 10, что дает в ответе 15x10.
Символьная запись многочленов обеспечила алгебре новую лаконичность выражения, но гораздо важнее был новый взгляд, который привнесли многочлены: они связали решение уравнений с разложением многочленов на множители. Рассмотрим уравнение x2 + 2 = 3x. Нетрудно проверить, что x = 1 и x = 2 являются его решениями, но как убедиться, что других решений нет?
С другой стороны, рассмотрим уравнение (x-1)(x-2) = 0. Алгебраически оно эквивалентно уравнению x2 + 2 = 3x (чтобы понять почему, раскройте скобки в левой части и перенесите члены), но оно гораздо нагляднее объясняет нам, почему мы не упустили ни одного решения. Ведь если x не равен ни 1, ни 2, то выражение (x-1) не может быть равно 0 (так как x не 1), и выражение (x-2) не может быть равно 0 (так как x не 2). Значит, ни (x-1), ни (x-2) не равны нулю. Но тогда их произведение (x-1)(x-2), будучи произведением двух ненулевых чисел, тоже не может быть равно нулю. В современной алгебре тот факт, что произведение двух ненулевых чисел не может быть нулем, возводится из скучной банальности в ранг основополагающего принципа. В частности, из него следует, что полиномиальное (многочленное) уравнение степени n имеет не более n решений.
Слово «многочлен» (в английском — polynomial) восходит к трудам Рене Декарта, который состряпал его, соединив греческую приставку «poly» (много) и латинский корень «nomen» (имя/название). Здесь «poly» указывает на то, что многочлен может быть суммой множества слагаемых, содержащих переменную x в различных степенях. Когда слагаемое всего одно, например x4, мы называем такой многочлен одночленом (monomial, хотя «монономиал» было бы точнее). Когда слагаемых два, как в x4 + x3, мы называем его двучленом или биномом (binomial) (см. Концевую заметку №3).
В ЧЕМ РАЗНИЦА (МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ)
Многочлены имеют множество важных применений в науке, но следующий «фокус для вечеринок» к ним не относится. Предложите другу загадать четыре целых положительных числа — a, b, c и n, но не называть их вам. Вместо этого он должен назвать вам значения многочлена ax2 + bx + c, вычисленные для трех последовательных аргументов: x = n, x = n+1 и x = n+2. Вы поразите его (по крайней мере, в теории), если после быстрых вычислений на бумажке назовете значения этого же многочлена для следующих трех чисел: x = n+3, n+4 и n+5 — при том, что вы понятия не имеете, чему равны a, b, c или n!
Допустим, друг выбрал a, b, c и n равными 1 (но вы этого не знаете). Он называет вам значения многочлена x2 + x + 1 при x = 1, 2 и 3. То есть он выдает вам числа:
- 12 + 1 + 1 = 3
- 22 + 2 + 1 = 7
- 32 + 3 + 1 = 13
Вы составляете таблицу, которая выглядит следующим образом:
| Строка | Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | Столбец 5 | Столбец 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Значения (Y) | 3 | 7 | 13 | ? | ? | ? |
| 1-я разность ($\Delta^1$) | 4 | 6 | ||||
| 2-я разность ($\Delta^2$) | 2 |
Первая строка таблицы состоит из трех чисел, которые назвал ваш друг (назовем их $r_1, r_2$ и $r_3$), а далее оставлены пустые места для трех чисел, которые вы в итоге объявите в ответ. Вторая строка содержит разности ($r_2 – r_1$) и ($r_3 – r_2$), а третья строка — разность разностей: ($r_3 – r_2$) – ($r_2 – r_1$).
(Проверяем: $7 – 3 = 4$; $13 – 7 = 6$; $6 – 4 = 2$.)
Мы говорим, что вторая строка является разностной последовательностью для первой строки (и точно так же третья строка — разностная последовательность для второй).
(Проверяем: $7 – 3 = 4$; $13 – 7 = 6$; $6 – 4 = 2$.)
Мы говорим, что вторая строка является разностной последовательностью для первой строки (и точно так же третья строка — разностная последовательность для второй).
Теперь расширим самую нижнюю строку, просто повторив ее единственное значение еще три раза:
| Строка | Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | Столбец 5 | Столбец 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Значения (Y) | 3 | 7 | 13 | ? | ? | ? |
| 1-я разность ($\Delta^1$) | 4 | 6 | ? | ? | ? | |
| 2-я разность ($\Delta^2$) | 2 | 2 | 2 | 2 |
Затем заполняем вторую строку таблицы таким образом, чтобы третья строка оставалась для нее разностной последовательностью:
| Строка | Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | Столбец 5 | Столбец 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Значения (Y) | 3 | 7 | 13 | ? | ? | ? |
| 1-я разность ($\Delta^1$) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | |
| 2-я разность ($\Delta^2$) | 2 | 2 | 2 | 2 |
(Проверяем: 8 – 6 = 2; 10 – 8 = 2; 12 – 10 = 2. Разумеется, я не угадал числа 8, 10 и 12 наугад, уповая на удачу; я последовательно вычислил их как 6 + 2 = 8, 8 + 2 = 10 и 10 + 2 = 12.)
Наконец, заполняем первую строку таблицы так, чтобы вторая строка служила для нее разностной последовательностью:
| Строка | Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | Столбец 5 | Столбец 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Значения (Y) | 3 | 7 | 13 | 21 | 31 | 43 |
| 1-я разность ($\Delta^1$) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | |
| 2-я разность ($\Delta^2$) | 2 | 2 | 2 | 2 |
(Считаем: 13 + 8 = 21; 21 + 10 = 31; 31 + 12 = 43.) Вы объявляете числа 21, 31 и 43, и ваш друг убеждается, что это действительно значения для 42 + 4 + 1, 52 + 5 + 1 и 62 + 6 + 1.
И теперь, если вы действительно хотите произвести впечатление, вы можете предложить другу наперегонки вычислить следующие пять членов. Вы, скорее всего, победите, просто продлив свою таблицу еще на пять шагов вправо, потому что ваша арифметика будет гораздо проще, чем его! Если вдруг ваши ответы для какого-то числа разойдутся, вы можете достать телефон, открыть калькулятор и проверить, кто прав. Моя ставка на то, что ошибся ваш друг, ведь его метод расчета требует гораздо больше действий.
Почему этот фокус работает? Посмотрите на таблицу. Обратите внимание, что вторая строка представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый член увеличивается на одну и ту же величину (а именно на 2) по мере продвижения слева направо. В Концевой заметке №4 я показываю, что если выписать последовательные значения квадратичного многочлена (степени 2) и вычислить их последовательные разности, вы всегда получите арифметическую прогрессию. То есть, если вы берете разности последовательных значений многочлена степени 2, эти разности сами будут последовательными значениями многочлена степени 1. И этот трюк не ограничивается многочленами второй степени (см. Концевую заметку №5).
Таблицы, которые мы создаем таким способом, называются разностными таблицами. Эта игра, заключающаяся в выполнении операций над многочленами для получения новых многочленов меньшей степени (выведение строки таблицы из строки выше) и обращении этого процесса (выведение строки из строки ниже), называется исчислением конечных разностей. Его не следует путать с дифференциальным и интегральным исчислением (анализом бесконечно малых) Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. (К слову, еще до рождения Лейбница и Ньютона индийские математики в Керале применяли исчисление конечных разностей к функциям синуса и косинуса и получили их разложения в степенные ряды! Я скоро расскажу вам эту историю).
Я предлагаю вам подумать над головоломкой, используя идеи из этого раздела: докажите, что если 
— это многочлен степени d, и если значения 
являются целыми числами, то p(n) будет целым числом для всех целых n. (Примером такого многочлена является мой «Личный многочлен» 
, о котором я писал в прошлом месяце). Решение этой задачи ищите в Концевой заметке №6.
— это многочлен степени d, и если значения являются целыми числами, то p(n) будет целым числом для всех целых n. (Примером такого многочлена является мой «Личный многочлен» , о котором я писал в прошлом месяце). Решение этой задачи ищите в Концевой заметке №6.ЗАКОНОМЕРНОСТИ В СТЕПЕНЯХ
У меня нет таланта к разграблению могил, и меня не гложет любопытство относительно роли наследственности и среды в формировании математических способностей человека. Но если бы такой талант и такое любопытство у меня были, я бы подумал о том, чтобы выкопать кости Бернулли, дабы соскрести немного их ДНК. Эти восемь математиков на протяжении почти целого века составляли своего рода европейскую математическую знать. Если в природе и существует нечто вроде «гена математики», то логично предположить, что у Бернулли он был. (Знают ли историки науки что-нибудь о женщинах из этой семьи? Учитывая, что они разделяли ту же наследственность и ту же среду, что и мужчины, можно ожидать, что они тоже проявляли математический талант, даже если им никогда не давали возможности его развить).
Числа Бернулли — последовательность чисел 
— были названы в честь одного из членов этой семьи, но открыл их не он. Приоритет здесь принадлежит немецкому ткачу, землемеру и математику Иоганну Фаульхаберу (1580–1635), который исследовал их на сто лет раньше.
— были названы в честь одного из членов этой семьи, но открыл их не он. Приоритет здесь принадлежит немецкому ткачу, землемеру и математику Иоганну Фаульхаберу (1580–1635), который исследовал их на сто лет раньше.Корни работы Фаульхабера уходят в глубокую древность. На протяжении тысячелетий было известно, что сумма 
равна 
для любого n. Почти так же долго было известно, что:
равна для любого n. Почти так же долго было известно, что:
равняется 
равняется 
Обратите внимание на степени этих многочленов: 2, 3 и 4. Естественно предположить, что закономерность сохраняется, и для любого целого положительного k сумма 
задается некой многочленной функцией от n степени k+1 (см. Концевую заметку №7). Вопрос лишь в том, какой именно многочлен степени k+1 справляется с этой задачей? Ведь выбирать приходится из бесконечного множества.
задается некой многочленной функцией от n степени k+1 (см. Концевую заметку №7). Вопрос лишь в том, какой именно многочлен степени k+1 справляется с этой задачей? Ведь выбирать приходится из бесконечного множества.Фаульхабер нашел формулу, в которой важную роль играли определенные таинственные множители. Эти множители — то, что мы сегодня называем числами Бернулли. Фаульхабер вычислил примерно первую дюжину из них и остановился; он продемонстрировал способ их поиска (пусть и весьма трудоемкий), и для него этого прогресса было достаточно.
Труд Фаульхабера был забыт на столетие. Затем два математика, работавшие совершенно независимо друг от друга, заново открыли то, что когда-то знал Фаульхабер: японский математик Сэки Такакадзу (1642–1708) и швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705). Ни один из них не опубликовал свои результаты при жизни; работа Такакадзу увидела свет в 1712 году, а труд Бернулли был издан в 1713 году под названием «Summae Potestatum» («Суммы степеней»).
Восторг Бернулли от своего открытия отчетливо виден в его словах, причем радость эта сдобрена изрядной долей злорадства:
Менее чем за четверть часа я обнаружил, что десятые степени первой тысячи чисел, начиная с 1, сложенные вместе, равны 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. Из этого становится очевидным, насколько бесполезными следует признать труды Исмаэля Буллиальда, зафиксированные в толстом томе его Arithmeticae Infinitorum, где всё, чего он добивается, — это демонстрация того, что с огромным трудом он может просуммировать первые шесть степеней — то есть лишь часть того, что мы сделали на одной странице.
Анализ Бернулли делал больший акцент на числах, которые он назвал A, B, C, D и т.д., нежели анализ Такакадзу. Кроме того, Бернулли принадлежал к европейскому научному мейнстриму, поэтому вполне естественно, что Леонард Эйлер назвал эти числа «числами Бернулли», а не «числами Такакадзу».
МЕЧТЫ О ПАРЕ
У английского математика Чарльза Бэббиджа была мечта.
Всё началось в 1821 году, когда молодой Чарльз и его друг Джон Гершель, отцы-основатели недавно созданного Лондонского астрономического общества, сокрушались по поводу ненадежности публикуемых астрономических таблиц. Существовавшие тогда таблицы изобиловали ошибками — как по вине людей, вычислявших эти числа (в те времена их называли «вычислителями», в оригинале — computers), так и по вине наборщиков, фиксировавших числа в печати. В то же время в других частях Англии пар творил чудеса, многократно увеличивая физические возможности человека. Как позже писал Бэббидж:
Г-н Гершель… принес с собой расчеты вычислителей, и мы приступили к утомительному процессу верификации. Через некоторое время обнаружилось множество расхождений, и в какой-то момент этих противоречий стало так много, что я воскликнул: «Видит Бог, я бы хотел, чтобы эти расчеты выполнялись с помощью пара!» — на что Гершель ответил: «Это вполне возможно».
Механические суммирующие машины уже существовали; философ и математик Блез Паскаль изобрел такую еще в 1642 году. Бэббидж понял: если взять компоненты подобных машин и соединить их принципиально новым способом, можно создать устройство, которое будет автоматически составлять таблицы значений многочленных функций.
Давайте посмотрим, как небольшая Разностная машина (именно так Бэббидж назвал свое изобретение) могла бы составлять таблицу значений многочлена n2 + n + 1, с которым мы познакомились на «вечеринке» чуть ранее. Представьте себе аппарат с тремя числовыми регистрами, которые меняются со временем, причем каждое число представлено положением различных шестеренок (как в суммирующей машине Паскаля). В самом начале работы машины регистры показывают три числа:
3 4 2
(неважно почему именно эти числа, по крайней мере, пока). Затем устройство прибавляет 4 из второго регистра к 3 в первом регистре и прибавляет 2 из третьего регистра к 4 во втором регистре, оставляя двойку в третьем регистре без изменений:
3 4 2
\ / \ /|
7 6 2
(Здесь прямые и наклонные вертикальные линии показывают, как новые значения регистров получаются из сумм старых значений: 7 — это 3+4, 6 — это 4+2, а 2 — это просто 2).
Затем устройство прибавляет 6 из второго регистра к 7 в первом регистре и прибавляет 2 из третьего регистра к 6 во втором регистре, снова оставляя двойку в третьем регистре нетронутой:
7 6 2
\ / \ /|
13 8 2
Затем оно выполняет ту же самую процедуру еще раз:
13 8 2
\ / \ /|
21 10 2
И так далее.
Кажутся ли вам эти числа знакомыми? Должны! Машина Бэббиджа строит разностную таблицу:
3 7 13 21 ...
4 6 8 10 ...
2 2 2 2 ...
по одной диагонали за раз. Если бы нам понадобилась таблица значений многочлена n2 + n + 1, всё, что нам потребовалось бы сделать, — это подключить к Разностной машине подходящее печатающее устройство и заставить его выводить числа, которые последовательно появляются в первом регистре.
Ранее я писал: «Многочлены имеют множество важных применений в науке, но следующий фокус для вечеринок к ним не относится». Это чистая правда. Однако (в финальной части фокуса) мы также увидели, что бумажно-карандашная технология разностных таблиц дала вам более эффективный способ вычисления значений многочлена вашего друга, чем его собственный прямой подсчет. Кроме того, мы только что увидели, как Бэббидж осознал: вас и вашу руку можно заменить безошибочными (или, по крайней мере, менее подверженными ошибкам) шестеренками. И что более точные таблицы, полученные в результате таких механических процессов, найдут научное (а также промышленное и военное) применение.
Так что да, это фокус для вечеринок. Но это фокус с прямой тематической связью с Разностной машиной Бэббиджа. И, как мы скоро увидим, Бэббидж на этом не остановился.
АДА ЛАВЛЕЙС
Аннабелла Милбэнк была не совсем во вкусе Джорджа Гордона, а он уж точно не был во вкусе Аннабеллы. Последнее обстоятельство отчасти и делало ее столь привлекательной для него: ее первоначальное равнодушие интриговало и притягивало поэта. (Или, по крайней мере, я так предполагаю, ведь меня там не было). Но давайте назовем Аннабеллу и Джорджа их официальными титулами: Аннабелла Милбэнк, баронесса Уэнтворт, и Джордж Гордон, лорд Байрон. Да-да, тот самый Байрон. Памятное описание этого культового поэта и негодяя как человека «безумного, порочного и опасного для знакомства» было придумано вовсе не его врагами, а его «больше чем подругой» леди Каролиной Лэмб. Милбэнк в более поздние годы станет известна как защитница прогрессивных идей, таких как вакцинация. Байрон восхищался умной юной Аннабеллой и в письме к ее тете окрестил начитанную наследницу «Принцессой параллелограммов». Аннабелла отвергла его первое предложение руки и сердца, но опрометчиво приняла второе. Когда повеса и моралистка влюбляются друг в друга в романтической комедии, они оказывают друг на друга смягчающее влияние, но в реальной жизни столь непримиримые врожденные склонности могут привести лишь к еще большему расколу. Полагаю, именно это и произошло с Аннабеллой и Джорджем. Спустя всего несколько лет их брак распался («Я слышала, она съехала! Она поставила крест на этом браке!» — «Ну а я слышал, что она съехала только после того, как он привел в дом одну из своих любовниц!»), но перед этим у них родился ребенок — девочка, которой было всего несколько месяцев от роду, когда ее родители расстались.
Юная Ада проявила еще большие способности к математике, чем ее мать. Аннабелла всячески поощряла девочку, надеясь, что занятия математикой и, в более широком смысле, развитие ее разумного начала защитят дочь от генетического клейма неуравновешенного темперамента её отца (а некоторые сказали бы — от его безумия). Конечным результатом усилий Аннабеллы стала дочь, которая посвятила себя тому, что сама Ада называла «поэтической наукой». В итоге это принесло ей (от восхищенного Бэббиджа) прозвище, превзошедшее то, что Байрон дал ее матери: «Волшебница чисел» (в оригинале — Enchantress of Number).
Ада познакомилась с Бэббиджем в 1833 году на приеме в его доме. Подросток, должно быть, произвела хорошее впечатление на сорокалетнего ученого, поскольку он пригласил ее и ее мать на демонстрацию своей недавно построенной Разностной машины (прототипа более масштабной версии, которую он надеялся создать). Это был аппарат высотой около двух футов (около 60 см), состоящий из 2000 латунных деталей, который приводился в движение ручкой. Машина могла бы даже распечатывать математические таблицы, если бы Бэббидж завершил работу над задуманным для нее принтером.
Однако планы Бэббиджа касательно Разностной машины разбились о рифы многочисленных проблем. Одна из них заключалась в том, что изготовление деталей с требуемой точностью оказалось гораздо более трудоемким и дорогостоящим предприятием, чем он предполагал, когда впервые предложил свой проект британскому правительству как способ автоматизировать составление математических таблиц. Кто-то, обладающий большей деловой хваткой или политической смекалкой, возможно, сумел бы справиться с этими задержками и перерасходом средств, но далекий от мира коммерции Бэббидж был не готов к такой задаче. К тому же его отвлекало видение еще более грандиозной машины, которая могла бы решать куда более интересные задачи, нежели просто вычисление значений многочленов. Он назвал это воображаемое устройство Аналитической машиной.
В 1840 году Бэббидж, так и не сумев заинтересовать британское правительство в поддержке своей работы, отправился в Италию, чтобы выступить с докладом об Аналитической машине и тем самым пробудить энтузиазм и найти финансирование за рубежом. Его выступление вдохновило итальянского математика Луиджи Менабреа опубликовать описание этой машины на французском языке. Ада (к тому времени вышедшая замуж за Уильяма Кинга-Ноэля, первого графа Лавлейс) взялась за перевод статьи Менабреа на английский язык. Она решила дополнить статью собственными «Замечаниями» (комментариями столь обширными, что в итоге они затмили сам текст Менабреа). В этих заметках Лавлейс очерчивает будущее, в котором механические устройства смогут, например, сочинять музыку — нужно лишь самым точным образом задать им математические правила, управляющие музыкальной композицией. Однако «Очерк Аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем, с замечаниями переводчика» — это не просто пророчество о грядущей эпохе машинного интеллекта. Этот труд содержит то, что многие называют первой настоящей компьютерной программой. И эта программа вычисляет числа Бернулли.
Вычисление чисел Бернулли — задача куда более сложная, чем вычисление значений многочленов (если хотите узнать об этом подробнее, загляните в статью Синклера Таргета). Одна из причин, по которой Лавлейс выбрала именно этот вычислительный вызов, заключалась в том, что он наглядно демонстрировал функцию Аналитической машины, которой не было у Разностной машины: способность вычислений входить в цикл или, как выразился Бэббидж, «кусать себя за хвост». Сегодня мы осознаем эпохальную значимость различия между этими двумя конструкциями: принципиально машина вроде Аналитической сделала шаг в область универсальных вычислений (полноты по Тюрингу).
Независимо от того, решите ли вы считать код Лавлейс самой первой компьютерной программой в истории или нет, это определенно был самый сложный набор инструкций для механических вычислений, когда-либо описанный до того времени. Блогеры, пишущие о компьютерных науках (Джим Рэндалл, Синклер Таргет и Стивен Вольфрам), заметили, что в одном месте ее программы закралась ошибка: числитель и знаменатель дроби поменялись местами. Самый первый программист оказался одновременно и создателем самого первого бага! Но я не думаю, что эта ошибка как-то порочит её имя; напротив, она указывает на масштаб её амбиций и сложность задачи, которую она решила на себя возложить. Как резонно спрашивает Таргет: если вы не пишете код с багами, то пишете ли вы настоящие программы вообще?
Увы, мечты Бэббиджа оказались масштабнее его бюджета и его управленческих способностей. Машина так и не была построена. Ада умерла от рака в 1852 году в возрасте 37 лет, а Чарльз ушел из жизни в 1871 году — горьким и разочарованным стариком. Викторианская компьютерная эра так и не наступила (хотя авторы произведений в жанре стимпанк не перестают задаваться вопросом: «Что, если?..»).
Если бы Аналитическая машина была построена при её жизни, я нисколько не сомневаюсь, что Лавлейс сама нашла бы этот баг в своей программе. И раз уж мы заговорили об ошибках, заметил ли кто-нибудь из вас, что на странице из книги Бернулли «Summae Potestatum», которую я показывал вам ранее, тоже есть ошибка? Последний член в предпоследнем многочлене его таблицы должен быть равен 
, а не 
.
, а не .Бернулли был творческим человеком, а не математическим движком. (Хотя я ничуть не сомневаюсь, что если бы вы сказали Бернулли, что он ошибся в своей таблице, он нашел бы опечатку гораздо быстрее, чем за пятнадцать минут).
История математики раз за разом доказывает, что титаны науки — это вовсе не безупречные эталоны чистого разума, которые никогда не ошибаются. Это люди, которые открывают новые горизонты, исследуют их, генерируют творческие идеи (некоторые из которых работают) и неизбежно спотыкаются, прокладывая путь по ландшафтам, которых до них никто не видел. Но они оправляются от этих падений и идут дальше. Более того, сама творческая способность человека — которой, как знаменито отметила Лавлейс, нет у Аналитической машины, способной делать лишь «то, что мы умеем ей приказать», — возможно, имеет общие корни с нашей человеческой склонностью ошибаться. Латинский корень слова «ошибка» (error) изначально означал «блуждание». Но если мы не будем сходить с проторенных троп и блуждать, то как мы узнаем, какие потрясающие виды упускаем?