Tables

\boxed{
\left[{n\atop k}\right]
=
\left[{n-1\atop k-1}\right]
+
(n-1)\left[{n-1\atop k}\right]
}

Да. Это именно та рекурсия, которая делает числа Стирлинга первого рода удобными для Вашей идеи: все промежуточные операции — только сложение и умножение натуральных чисел.

Для беззнаковых чисел Стирлинга первого рода:$$\left[{n\atop k}\right] = \left[{n-1\atop k-1}\right] + (n-1)\left[{n-1\atop k}\right],$$

с начальными условиями$$\left[{0\atop0}\right]=1, \qquad \left[{n\atop0}\right]=0\quad(n>0).$$

Первые строки:$$\begin{array}{c|rrrrrrrrrr} n\backslash k &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline 0&1\\ 1&0&1\\ 2&0&1&1\\ 3&0&2&3&1\\ 4&0&6&11&6&1\\ 5&0&24&50&35&10&1\\ 6&0&120&274&225&85&15&1\\ 7&0&720&1764&1624&735&175&21&1\\ 8&0&5040&13068&13132&6769&1960&322&28&1\\ 9&0&40320&109584&118124&67284&22449&4536&546&36&1 \end{array}$$

Здесь особенно интересно то, что не нужно хранить всю строку, если заранее известно, какие диагонали нужны для $a_n$. Рекурсия позволяет вычислять требуемые клетки последовательно.

Например, для $n=5$ нужные значения:$$\left[{5\atop5}\right]=1, \qquad \left[{4\atop3}\right]=6, \qquad \left[{3\atop1}\right]=2.$$

Они лежат на диагонали с изменением индексов$$(n-k,\;n-2k).$$

Именно здесь я бы теперь искал Вашу «Юпану»: не вычислять сначала аналитическую функцию, а построить дискретную машину состояний, которая на каждом шаге nn получает нужные клетки треугольника Стирлинга и преобразует их в очередной натуральный вес ana_n.

При этом нужно исправить один момент из моего предыдущего ответа: я слишком быстро назвал полученную комбинацию «диагональю». Строго говоря, в формуле для $a_n$ присутствует сумма нескольких элементов Стирлинга с дополнительными факториальными весами. Поэтому следующий этап — найти преобразование этих весов так, чтобы оно тоже выполнялось целыми числами, без дробей. Именно это будет настоящей проверкой Вашей гипотезы о вычислении через треугольную таблицу.

Задача элементарная столбцы на индекс столбца вверх сьехали

Надо учесть этот сдвиг в этой формуле

д:(\boxed{a_{n}=(n!)^{2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{\left[{n-k \atop n-2k}\right]}{(2k+1)!(n-k)!}})

Признаю свой косяк, я капитально накосячил с индексами сдвига в формуле, из-за чего и получился этот лютый бред в таблице.

В исходной формуле аргумент числа Стирлинга имеет вид , где:

• Исходный столбец
• Исходная строка

Поскольку вы сдвинули каждый столбец таблицы вверх строго на величину индекса этого столбца, то координата столбца на Юпане совпадает с его исходным значением: .

А координата строки на Юпане уменьшилась на величину этого сдвига:

Таким образом, элемент исходной формулы в вашей сдвинутой таблице теперь лежит строго в ячейке с координатами: строка , столбец .

Правильная формула с учётом сдвига столбцов:

Теперь подставим элементы вашей сдвинутой таблицы Стирлинга в эту исправленную формулу для каждой ячейки индивидуально, чтобы получить правильную таблицу вкладов.

Результат точного расчёта таблицы вкладов:

Вот теперь таблица вкладов полностью совпала с вашей проверочной матрицей до единого числа, потому что индексы сдвига встали на свои места.

Cгенерируйте новую таблицу по этой формуле

— беззнаковое число Стирлинга первого рода.

:(\boxed{a_{n}=(n!)^{2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{\left[{n-k \atop n-2k}\right]}{(2k+1)!(n-k)!}})

По этой формуле посчитайте коэффиценты для только что полученной таблицы

Вычисляю вклады каждого отдельного слагаемого в сумму для каждого значения и строго по исходной формуле на основе только что выведенной классической таблицы чисел Стирлинга первого рода:

Таблица рассчитанных коэффициентов вклада

(\text{Вклад}(n,k)=(n!)^{2}\cdot \frac{\left[{n-k \atop n-2k}\right]}{(2k+1)!(n-k)!})

Вот по этой формуле посчитайте одну таблицу от 0 до 9 и выведите её. Она без множителей Стерлинга и без знаменателя, но так как это квадрат числа, то представте каждый квадрат в виде суммы двух последовательных треугольных чисел. Типа T1+T2

Вывожу таблицу, где каждый числитель представлен в виде суммы двух последовательных треугольных чисел .

Поскольку для любого целого числа выполняется тождество , где , мы подставляем вместо значение :

Таблица числителей в виде

Продолжите до 9(n)Факториал ((n!))Представление через треугольные числа ((T_{k}))1(1! = \mathbf{1})(T_1 = 1)2(2! = \mathbf{2})(T_2 – T_1 = 3 – 1)3(3! = \mathbf{6})(T_3 = 6)4(4! = \mathbf{24})(T_3 + T_5 + T_2 = 6 + 15 + 3)

Продолжение таблицы факториалов и их представлений через треугольные числа до :

	Факториал ()	Представление через треугольные числа ()
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Еще раз схему вычисления таблиц покажите?

Схема последовательного вычисления таблиц (разностных полей) строится снизу вверх, где каждый уровень является жестким арифметическим генератором для следующего.

Ниже приведена итоговая топологическая схема вычислений, привязанная к индексам разрядной доски.

🗺️ Общая схема направленного графа вычислений (DAG)

 [ Базовые треугольные числа (T_m) ]
                │
                ▼ (разности последовательных элементов T_i - T_i-1)
 [ Шаг 1. Сомножители факториала (i) ]
                │
                ▼ (произведение скобок разностей / пошаговый факториал)
 [ Шаг 2. Вектор числителей (n!)^2 ] ──┐
                                       │
 [ Шаг 3. Классический Стирлинг 1-го ] │
         │                             │
         ▼ (выборка элементов [n-k / n-2k])
 [ Шаг 4. Сдвинутая матрица Стирлинга ] ┼─► [ Шаг 6. Итоговая матрица вкладов V(n, k) ]
                                       │       (покомпонентный расчёт ячеек:
 [ Шаг 5. Компоненты знаменателя ]     │             V = (Числитель * Стирлинг) / Знаменатель)
         │ (расчёт весов по координатам)│                             │
         ▼                             │                             ▼
 [ Матрица полных знаменателей ] ──────┘             [ Шаг 7. Линейное суммирование строк ]
                                                                     │
                                                                     ▼
                                                         [ Шаг 8. Искомый ряд a_n ]

🔁 Пошаговый разностный цикл на доске:

1. Генерация базы (Шаг 1 и 2): Из непрерывного ряда треугольных чисел вычитанием соседей извлекаются чистые сомножители, которые через произведение раскрытых многочленов формируют вектор числителей .
2. Диагональное сжатие (Шаг 3 и 4): На основе базового аддитивного треугольника Стирлинга первого рода формируется сдвинутое поле коэффициентов, где на пересечении строки 5 и столбца 1 находится число 6 (элемент ).
3. Финальный баланс (Шаг 6, 7 и 8): В каждой ячейке матрицы вкладов числитель (n!)² умножается на коэффициент Стирлинга и делится на знаменатель (2k+1)!(n-k)!. Полученная сетка вкладов (содержащая числа вроде 40, 600, 1980) суммируется по горизонтальным строкам, выдавая точную траекторию ряда : 1, 1, 2, 9, 72, 760, 9900…